В каждой из двух подгрупп у варианта А доля выполненных заданий выше, чем у варианта Б. После объединения подгрупп сравнение меняется на противоположное. Арифметическая ошибка для этого не нужна: общая доля по-разному взвешивает подгруппы. Ниже обратный порядок сравнения показан на полностью заданных учебных числах.

Все частоты здесь вымышлены. Это 220 условных записей с одним бинарным исходом: задание выполнено или не выполнено. Реального обучения, назначения вариантов и проверки эффективности не проводилось. В макете есть варианты А и Б и два типа задания: базовое и сложное. Каждая запись входит только в одну строку, пропусков и повторов нет.

Сравните варианты отдельно для каждого типа задания

Тип задания и вариант   Выполнено из общего числа; доля
Базовое задание, вариант А   9 из 10; 90%
Базовое задание, вариант Б   80 из 100; 80%
Сложное задание, вариант А   20 из 100; 20%
Сложное задание, вариант Б   1 из 10; 10%

В каждой строке доля относится только к записям данного варианта и типа задания. Перед сравнением полезно проверить, как выбран знаменатель в таблице сопряжённости.

Учебная схема парадокса Симпсона: в двух слоях 90% больше 80% и 20% больше 10%; после объединения 26,4% меньше 73,6%; частоты вымышлены.
Учебный макет обращения сравнения: 90% > 80% для базового задания и 20% > 10% для сложного, но 29/110 ≈ 26,4% < 81/110 ≈ 73,6% после объединения. Частоты заданы автором, всего 220 условных записей; причинный эффект не установлен.

Для базового задания доля А равна 9/10, то есть 90%, а доля Б равна 80/100, то есть 80%. Для сложного задания у А 20/100, или 20%, у Б 1/10, или 10%. В обоих слоях доля А выше на 10 процентных пунктов. Это описание заданных частот, а не доказательство преимущества метода обучения.

Теперь объедините исходные количества

Вариант   Выполнено из общего числа; общая доля
А   (9 + 20) / (10 + 100) = 29/110 ≈ 26,4%
Б   (80 + 1) / (100 + 10) = 81/110 ≈ 73,6%

У каждого варианта по 110 записей, но их состав различается. У А только 10 из 110 записей относятся к базовому заданию, а остальные 100 к сложному. У Б наоборот: 100 записей относятся к базовому заданию и 10 к сложному. После объединения общая доля А меньше доли Б, хотя внутри каждого типа задания доля А выше.

В разборе парадокса Симпсона Стэнфордской энциклопедии рассматривается изменение или обращение связи при переходе между общей совокупностью и подгруппами. Наши числа составлены отдельно. Мы показываем только описательное обращение сравнения, не используем реальные примеры медицинских или управленческих решений.

Посмотрите на разные веса подгрупп

Общая доля А равна (10/110 × 0,90) + (100/110 × 0,20) = 29/110. Для Б: (100/110 × 0,80) + (10/110 × 0,10) = 81/110. Проценты внутри типа задания нельзя просто усреднить, чтобы получить долю среди всех записей варианта. Эта арифметика связана с объединением процентов по численностям, но здесь дополнительно сравниваются два варианта в двух слоях и в общей таблице.

Что сравниваем   Результат учебного набора
А и Б внутри базового задания   90% больше 80%
А и Б внутри сложного задания   20% больше 10%
А и Б после объединения типов заданий   26,4% меньше 73,6%
Состав вариантов А и Б   При одинаковом общем числе записей 110 доли двух типов задания различаются.

Проверьте числа и знаменатели

  • Число базовых записей: 10 + 100 = 110.
  • Число сложных записей: 100 + 10 = 110.
  • Общее число записей: 110 + 110 = 220.
  • Число выполненных заданий: 9 + 80 + 20 + 1 = 110.
  • По варианту А выполнено 29 заданий, по варианту Б выполнено 81; 29 + 81 = 110.
  • Округление до одного знака после запятой применено только при показе общих процентов.

Как не превратить таблицу в причинный вывод

Общая доля и доли внутри слоёв отвечают на разные описательные вопросы. Общая доля описывает все записи варианта в том составе, который сложился в наборе; доли внутри слоя описывают записи только с определённым типом задания. Смена направления сравнения сама по себе не означает, что общая таблица ошибочна, и не доказывает, что любое сравнение внутри слоёв отражает причинный эффект.

Расчёт не подсказывает, какую третью переменную нужно учитывать в вашем исследовании. Для причинного вывода нужны обоснованный вопрос, сведения о том, как формировались группы, и отдельный план анализа. Не выбирайте способ группировки только потому, что при нём получается желаемый порядок вариантов.

Что оставить в отчёте

  • Покажите исходные числители и знаменатели для каждого сочетания варианта и типа задания.
  • Приведите общие доли и объясните, как меняется состав групп.
  • Укажите, к какой совокупности относится каждое сравнение.
  • Отдельно отметьте, что данные учебные, а реальное исследование требует собственного обоснования.
  • Сохраните ограничения: здесь нет проверки значимости, экспериментального эффекта или выбора лучшего варианта.

Для макета корректен такой вывод: «В обоих типах задания доля А выше доли Б на 10 процентных пунктов; в объединённой таблице доля А равна 26,4%, доля Б равна 73,6%. Направление сравнения меняется из-за разного состава типов задания. Эти вымышленные частоты иллюстрируют арифметику и не устанавливают причинный эффект».

Если нужна помощь со статистической частью работы, ознакомьтесь с описанием услуги статистического анализа и заранее уточните, входит ли в неё проверка такого расчёта. Согласуйте задачу, состав исходных данных, объём работы и сроки; план учебной работы обсудите с руководителем.

Источники