Число 5 затесалось сразу в две компании: его хочется поместить и в интервал «0–5», и в «5–10». Такая короткая подпись ничего не говорит о судьбе пограничной точки. Поэтому до того, как вы нарисуете гистограмму, запишите не только сами границы, но и правило — какой край включён, а какой нет. А потом пересчитайте наблюдения, чтобы убедиться, что ни одно значение не приклеилось к двум интервалам сразу.

В качестве примера я придумал десять строчек — от V01 до V10. Это неспешные измерения какого-то учебного упражнения в минутах. В строке V10 измерение пропущено: числового значения нет. Цифры не срисованы с реального хронометража, и на графиках мы не тестируем какую-то конкретную программу. Это просто откровенно вымышленный пример, на котором удобно разбирать логику границ.

Что считать частотой

В руководстве NIST о гистограмме описано распространённое построение: диапазон делят на интервалы одинаковой ширины и считают, сколько значений попало в каждый. Здесь четыре интервала шириной 5 минут выбраны автором только для наглядного контроля границ. Это не рекомендация оптимального числа интервалов и не автоматическое правило NIST или любого приложения.

Наше правило для границ

Интервал   Условие включения
[0, 5)   0 ≤ x < 5
[5, 10)   5 ≤ x < 10
[10, 15)   10 ≤ x < 15
[15, 20]   15 ≤ x ≤ 20; последний правый край включён.
Авторская учебная схема четырёх интервалов: частота 2 в каждом; значение 5 во втором, 10 в третьем, 15 и 20 в четвёртом. Значение 21 вне диапазона; одно значение пропущено. Все данные вымышлены.
Авторская учебная схема, данные вымышлены. Последний правый край 20 включён по нашему соглашению; это не универсальная настройка программ. Контроль 8 + 1 + 1 = 10 сохраняет все исходные строки.

Условились, что квадратная скобка обнимает край, а круглая его выпроваживает. Значит, пятёрка уходит во второй интервал, десятка — в третий, пятнадцать — в четвёртый, а двадцать пускается в четвёртый, потому что последний правый край мы осознанно закрыли. Если в вашей программе распределение краёв другое, не надо делать вид, будто мы описали общее правило для всего софта. Если программа позволяет настроить границы, задайте правило явно. Если такой настройки нет, проверьте документацию и укажите, как программа распределяет пограничные значения.

Все исходные значения и их назначение

ID   Исходное значение → назначение
V01   0 → [0,5)
V02   4 → [0,5)
V03   5 → [5,10)
V04   9 → [5,10)
V05   10 → [10,15)
V06   14 → [10,15)
V07   15 → [15,20]
V08   20 → [15,20]
V09   21 → вне диапазона 0–20
V10   пропуск → пропуск, не интервал

Значение 21 не обрезали и не выбросили. Да, для упражнения я поставил верхнюю границу 20, и 21 осталось снаружи. Но это не значит, что измерение ошибочно. С настоящими записями вы должны сперва понять, какой диапазон нужен графику, а не подгонять цифры под красивую картинку. Пропуск тоже никуда не делся: он хранится отдельной пометкой и не превращён в ноль.

Итоговая таблица частот

Группа   Частота и составляющие
[0, 5)   2: значения 0 и 4
[5, 10)   2: значения 5 и 9
[10, 15)   2: значения 10 и 14
[15, 20]   2: значения 15 и 20
Вне диапазона   1: значение 21
Пропуск   1: V10
Контроль всех строк   8 внутри + 1 вне диапазона + 1 пропуск = 10

В итоге из десяти записей восемь попали внутрь выбранного диапазона, и ни одна не раздвоилась. По горизонтали откладываем четыре числовых отрезка. В нашем варианте с абсолютными частотами по вертикали стоят двойки: 2, 2, 2 и 2. Если бы мы построили столбики с подписями V01–V10, это была бы другая диаграмма — не та, что показывает интервальное распределение.

Если нужны проценты, подпишите основание

Среди восьми значений, попавших в диапазон, доля каждого интервала — 2/8, или 25 %. Четыре четверти собираются в полную картину этих восьми записей. Если же взять все десять исходных строк, доля интервала станет 2/10, то есть 20 %. Ещё 10 % строк лежат снаружи и ещё 10 % — пропуск. Это разные знаменатели, и смешивать их нельзя. Подпись «25 % от всех исходных строк» для нашего примера была бы просто неверна.

В этом учебном примере плотность не вычисляется: высота столбика показывает абсолютную частоту или долю с явно указанным знаменателем. NIST отдельно описывает нормировку для плотности: частоту класса делят на произведение числа учитываемых наблюдений и ширины класса. При разной ширине классов частоты нельзя напрямую читать как плотность. Здесь четыре интервала имеют одинаковую ширину 5 минут; расчёт плотности в примере не выполняется. По четырём одинаковым частотам нельзя установить закон распределения или переносить вывод на реальную совокупность.

Как описать правило в работе

Честная подпись в работе может выглядеть так: «Интервалы [0, 5), [5, 10), [10, 15), [15, 20]; последний правый край включён. В диапазон вошли 8 из 10 исходных записей, частоты — 2, 2, 2, 2. Значение 21 лежит снаружи, одна строка содержит пропуск. Все данные вымышлены». Читателю сразу понятно, как решена судьба краёв и какие наблюдения на график не попали.

Перед группировкой убедитесь, что числа означают измеряемую величину, а не коды несвязанных категорий. Смысл числовых записей разобран в материале о шкалах измерения. Для категорий вроде названий платформ используют иной способ представления, не интервалы между кодами 1, 2 и 3.

Чек-лист контроля

  • Края записаны с однозначными знаками ≤ и <.
  • Проверены точки 0, 5, 10, 15, 20 и значение 21.
  • Каждое известное значение в диапазоне учитывается ровно один раз.
  • Сумма частот 8 сверена с числом значений в диапазоне; остальные две строки объяснены отдельно.
  • Пропуск не стал нулём, а 21 не был подменён 20.
  • Указаны единицы минут, абсолютные частоты или точный знаменатель процентов.
  • Выбор четырёх интервалов не назван оптимальным, обязательным или доказательством распределения.

Если для собственного проекта нужно проверить структуру данных, расчёт и границы вывода, можно обсудить консультацию по статистическому анализу. Заранее согласуйте исследовательский вопрос, состав исходных файлов, правила обработки и объём помощи. Арифметическая проверка сама по себе не подтверждает качество исследования.

Источники