Миллиард или банкротство: почему максимизация вероятности стать миллиардером ведёт к разорению

На семинаре о личных финансах кто-то поднимает руку и говорит: откладывать 20% дохода, следить за комиссиями, держать индексные фонды — всё это хорошо, но миллиардером так не станешь. Возражение выглядит наивным, и его легко отмахнуть. Но у него есть точная математическая версия, и она приводит к неожиданному результату: стратегия, которая честно максимизирует вероятность когда-нибудь дойти до миллиарда, в большинстве случаев заканчивается полным разорением. Не «не дотянул», не «остался при своих», а нулём на счету.

Разбор этой задачи опубликовал Виктор Хагани, бывший сооснователь хедж-фонда Long-Term Capital Management (LTCM) и автор книги о том, как люди принимают решения в условиях неопределённости. Его текст «Вы действительно хотите стать миллиардером?» переведён на русский язык в блоге на Хабре (переводчик — TraPhro, публикация от 7 октября, год в тексте не указан). Ниже — разбор постановки задачи, чисел и того, что они означают. Сразу оговорюсь: это не рецензируемая научная работа и не собственное исследование, а разбор популярного текста, где ключевые числа даны без вывода формул.

Что именно оптимизируется

Хагани предлагает упрощённую модель. Человек (в тексте его зовут Билли) за карьеру накапливает 2 млн долларов и хочет превратить их в 1 млрд, то есть увеличить капитал в 500 раз. Вместо реального рынка ему дают монету: 50 подбрасываний, вероятность орла 60%. В каждом броске можно поставить любую долю текущего капитала. Это щедрое упрощение, но, по мысли автора, оно неплохо передаёт структуру инвестиционных возможностей: серия независимых испытаний с небольшим положительным перевесом.

Вопрос ставится так: какова стратегия, максимизирующая вероятность дойти до миллиарда, и какова эта вероятность? Хагани ссылается на то, что задача решена ещё в 1961 году профессором Калифорнийского университета в Беркли Лео Брейманом, и приводит ответ: при оптимальной стратегии вероятность успеха — 7%.

Здесь важная оговорка. Первичную работу Бреймана 1961 года в доступных источниках найти не удалось: ни точной библиографической ссылки, ни DOI, ни PDF. Числа 7% и 93% приведены как утверждение Хагани, без вывода и без явных условий задачи. Поэтому дальше речь идёт о том, что утверждает автор разбора, а не о проверенном нами результате.

Цена семи процентов

Семь процентов сами по себе выглядят неплохо на фоне базовой частоты. Хагани сравнивает: миллиардеры — примерно 0,001% американцев, а среди тех, кто уже накопил 2 млн, до миллиарда, вероятно, добирается около 0,05%. На этом фоне 7% — огромный скачок.

Но остальные 93% сценариев — это не «почти получилось». Это полное разорение. Причина, по словам автора, в том, что стратегия, максимизирующая вероятность достичь 1 млрд, требует регулярно ставить на кон весь капитал. Любая траектория, которая не заканчивается миллиардом, заканчивается проигрышем всего. Промежуточного состояния «почти миллиардер» в этой модели нет.

Как это выглядит в цифрах: в первом же броске приходится ставить около 65% капитала. Дальше размер ставки меняется в зависимости от предыдущих результатов и числа оставшихся бросков, но в какой-то момент часто требуется поставить всё на один подброс с шансом 60 против 40. На 20 смоделированных траекториях средний размер ставки составил бы около 68% капитала.

Тут в тексте есть неразрешённое противоречие, и его стоит назвать прямо. С одной стороны, говорится, что стратегия «требует регулярно ставить на кон 100% капитала». С другой — что первый бросок это около 65%, а средняя ставка около 68%. Эти утверждения не согласованы между собой: 100% и 65–68% — разные вещи. Возможно, речь о том, что на некоторых шагах ставка доходит до 100%, а в среднем по траектории держится ниже. Но из текста это не следует, и мы не можем восстановить логику по пересказу.

Ещё одна странность, которую подчёркивает автор: оптимальная стратегия не меняется при резком ухудшении шансов. Если вероятность орла падает с 60% до 51%, схема ставок остаётся точно такой же. Меняется только итог: вероятность успеха падает до 0,3%, а вероятность банкротства растёт до 99,7%. Стратегия, которая не реагирует на то, что игра стала почти честной, — сама по себе тревожный сигнал.

Почему это не парадокс, а свойство цели

Ключ к задаче — не в монете, а в выбранной цели. Максимизация вероятности попасть в одну конкретную точку (1 млрд) заставляет игнорировать всё остальное распределение результатов. Ожидаемое богатство при такой стратегии, по расчёту Хагани, составляет 70 млн долларов: 7% вероятности получить миллиард и 93% вероятности получить ноль. Среднее выглядит прилично, но оно собрано из редкого огромного выигрыша и почти гарантированного полного проигрыша.

Если оценивать не вероятность, а ожидаемую полезность, картина переворачивается. Полезность миллиарда высока, но полезность полного разорения настолько отрицательна, насколько это вообще возможно, а наступает оно в 93% случаев. Хагани пишет, что ожидаемая полезность стратегии «миллиард или банкротство» фактически равна минус бесконечности.

Можно попробовать подстраховаться: отложить 1 млн из двух и рисковать только второй половиной. Это немного улучшает ситуацию, но не спасает: вероятность достичь миллиарда падает примерно до 4,5%, а вероятность потерять половину капитала составляет 95,5%. Ожидаемая полезность всё равно остаётся намного ниже, чем если просто сохранить 2 млн и ничего не делать.

А вот при 50 подбрасываниях с шансом 60 против 40 можно получить заметно больше, чем «ничего не делать». Более разумный вариант — каждый раз ставить постоянную умеренную долю капитала, например 10–20%. С точки зрения ожидаемой полезности это радикально лучший выбор: при типичном уровне неприятия риска такая стратегия даёт эквивалент гарантированного капитала примерно в 1,7 раза больше первоначального.

Где здесь критерий Келли

Критерий Келли — это правило выбора доли капитала, максимизирующее ожидаемый логарифм богатства, то есть долгосрочный темп роста капитала. Для монеты с вероятностью орла 60% и выплатой один к одному оптимальная по Келли ставка составляет 20% капитала (это стандартный результат: доля равна 2p − 1, где p — вероятность выигрыша).

Именно эту стратегию Хагани противопоставляет максимизации вероятности. И тут возникает самый интересный контраст: стратегия Келли со ставкой 20% даёт лишь 0,007% вероятности когда-нибудь достичь миллиарда. То есть стратегия, оптимальная для долгосрочного роста капитала, почти никогда не приводит к цели «стать миллиардером». А стратегия, оптимальная для достижения этой цели, почти всегда приводит к разорению.

В пересказе остаётся неразрешённым вопрос, как именно 20% по Келли соотносятся с оптимальной по вероятности ставкой 65%. Это разные критерии оптимизации, и они дают разные числа, но текст не показывает, как одно переходит в другое. Мы можем только зафиксировать сам контраст: две разумные на вид цели — «максимальный долгосрочный рост» и «максимальная вероятность миллиарда» — ведут к совершенно разным стратегиям и разным распределениям исходов.

Полезно держать в голове, что критерий Келли сам по себе не является универсальным решением. Он максимизирует темп роста при известных вероятностях и повторяющихся ставках. Если вероятности оценены неверно или ставки не повторяются в том же виде, его гарантии ослабевают. В модели Хагани вероятности известны точно, и это ещё одно упрощение, которого в реальности нет.

Аргумент про Apple и почему он не спасает

Возражение, которое Хагани разбирает отдельно: увеличить капитал в 500 раз — не такая уж фантастика, достаточно рано купить Apple, Nvidia или одну из сотни других выдающихся компаний. Это справедливо, но автор приводит контекст: за последнее столетие на американском рынке были зарегистрированы около 30 000 компаний, и примерно 100 из них принесли доходность в 500 раз. Это около 0,3% от общего числа.

Вероятность 7% при оптимальной стратегии ставок на монету 60/40 существенно выше шанса угадать одну конкретную акцию, которая вырастет в 500 раз. Но есть разница в цене ошибки: неудача при выборе «акции-ракеты» чаще всего не означает полного банкротства, а неудача при стратегии «миллиард или ничего» означает именно его.

Хагани упоминает и вариант с кредитным плечом: при плече 2,5 к собственным накоплениям достаточно найти акцию, которая вырастет лишь в 200 раз. Но плечо создаёт сильную отрицательную асимметрию распределения доходностей, а маржинальное финансирование обычно обходится заметно дороже безрисковой ставки. Долгосрочный коэффициент Шарпа широкого фондового рынка, по его оценке, находится примерно на уровне 0,2 — как у монеты с вероятностью орла 60%. Поэтому 50 бросков не слишком отличаются от 50 лет инвестиций в рынок акций. Но по мере роста риска сверх 100% капитала соотношение доходности к риску, вероятно, ухудшается: дополнительный риск приходится брать либо через плечо с положительной стоимостью финансирования, либо через всё более специфический и недиверсифицируемый риск отдельных активов.

Что это значит для читателя

Главный вывод Хагани шире, чем задача о монете: выбранная целевая функция определяет всю последующую стратегию. Если критерий — «максимизировать вероятность стать миллиардером», результатом в большинстве случаев становится банкротство. Если критерий — «максимизировать ожидаемое благосостояние», результат другой. Ошибочная цель ведёт к ошибочной стратегии, и никакая математика внутри неё этого не исправляет.

Практический смысл для того, кто принимает решения о деньгах или о рисках, довольно простой. Прежде чем оптимизировать что-либо, стоит спросить, что именно оптимизируется и что происходит в неудачных сценариях. Цель, которая выглядит амбициозной, может требовать стратегии, несовместимой с выживанием. И наоборот: стратегия, которая выглядит скромной, может оказаться единственной, которая оставляет вас в игре достаточно долго, чтобы результат вообще имел значение.

Остаётся открытый вопрос, на который разбор Хагани не отвечает: как выбирать цель, если хочется и высокого результата, и защиты от разорения. Формально это задача о функции полезности, и её решение зависит от того, насколько сильно человек не приемлет риск. В модели с монетой ответ можно посчитать; в реальности вероятности неизвестны, а «банкротство» может означать не только ноль на счёте, но и потерю доступа к будущим возможностям. Именно поэтому числа 7% и 93% стоит читать как иллюстрацию свойства цели, а не как оценку чьих-то реальных шансов.

Для тех, кто хочет разобраться, как в научной работе отделять постановку задачи от её решения и проверять, какие условия стоят за числами, полезен разбор о том, как провести критический анализ научной статьи: он помогает заметить, где заканчивается доказанное и начинается пересказ.

Источники

TraPhro (перевод). «Вы действительно хотите стать миллиардером?» — перевод поста Виктора Хагани (Elm Wealth). Хабр, 7 октября. https://habr.com/ru/articles/1077356/

TraPhro. «Когда гении терпят поражение: взлёт и падение LTCM». Хабр, 13 июня. https://habr.com/ru/articles/1047142/

Оригинал поста Хагани: https://elmwealth.com/do-you-really-want-to-be-a-billionaire/ (текст оригинала в доступной выдаче отсутствует).

Первичная работа, на которую ссылается Хагани: L. Breiman, 1961. В доступных источниках точная библиографическая ссылка, DOI и полный текст не найдены; результат приводится по вторичному пересказу.

Фото: AlphaTradeZone / Pexels